Modélisation d'une trajectoire de cours d'un actif financier à l'aide d'un Mouvement Brownien

Définition :

Le mouvement brownien est une description du mouvement aléatoire de particules qui ne sont soumises à aucune autre interaction que les chocs. Ce comportement a été décrit pour la première fois par le biologiste Robert Brown en 1827 alors qu'il observait le mouvement de pollens flottant sur l'eau.

Le mouvement brownien est un processus que l'on utilise ou observe dans des domaines aussi variés que la thermodynamique, la biologie ou encore l'économie...

En fait, presque toutes les approximations stochastiques que l'on peut faire débouchent inéluctablement sur un processus qui est un mouvement brownien.

Un processus est un mouvement brownien si:

• Bt suit un loi gaussienne centrée de variance t pour tout t de [0, 1]


• Pour tout s > 0, Bt+s − Bt est indépendant de toutes les variables aléatoires Bu pour u <= t

Génération d'une trajectoire de cours basée sur un mouvement brownien

La première étape consiste à générer un échantillon de valeurs aléatoires normales standardisées (et indépendantes) Nt

Sous Excel, il est possible d'utiliser la fonction LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA())

On suppose que le cours boursier St (action, indice, portefeuille...) que l'on cherche à simuler suit un mouvement brownien géométrique :

(1) Ni normales standard iid

Sur la base de l'équation (1), il est possible de simuler des évolutions de cours sur une année complète soit t=1,....,52.

On obtient alors l'équation

(2)

Ainsi que les trajectoires antithétiques

(3)

Pour chacun des mouvements brownien Nt, nous pouvons donc simuler 2 trajectoires de prix d'un actif financier.

(l'unité de temps =1 semaine, la simulation porte sur 52 semaines, soit 1 an).

Sur une base d'une simulation de cours hebdomadaires, on peut par exemple prendre un rendement moyen de 15% et une volatilité de 20% annuels.

Soit Pour chaque pas de la simulation

la variance et la moyenne étant proportionnelles au temps

On obtient ainsi 2 trajectoires de cours S0,S1,...S52 qui, en repetant l'opération, permettront, par exemple, de servir de base à une simulation de Monte Carlo